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定積分の計算方法

初歩的な質問になりますが、定積分の計算方法についてです。

定積分

∫[a→b]f(x)dx

を計算するにあたって、f(x)は因数分解されてなければいけませんか?



たとえば、∫[0→1]{8x√(1-x²)}dxの計算は

∫[0→1]{8x√(1-x²)}

=8∫[0→1]{x√(1-x²)}dx

=8∫[0→1]√(x²-x⁴)dx

=8[(2/3){1/(2x-4x³)}(x²-x⁴)^(3/2)][0→1]

.

.

.

と進められますが、√(x²-x⁴)を不定積分しても(x²-x⁴)は残るため、1を代入するとこの部分が0となり、全体が0になってしまいます。

正しい答えは8/3です…

この結果から、f(x)は因数分解されてなければ定積分が計算できないのだと考えたのですが、正しいでしょうか。逆に、今回の計算はf(x)を展開してしまった(因数分解を解除してしまった)から答えが合わなかった、と考えていいでしょうか。

回答(1件)

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因数分解というのが、どの部分なのか分かりませんでしたが、xをルートの中に入れてしまうと、積分できなくなってしまいます。

基本は置換積分で計算し、慣れてきたら合成関数の微分の逆読みに挑戦するという感じです。

頑張ってください。

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鳩の家
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数学・物理・英語などを指導して11年目の個人契約の家庭教師です。 川口市(旧鳩ヶ谷市)在住です。...

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