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定積分(広義積分)の計算方法が分からない

質問の答えについて

この質問の答えはわかりません。

以下の定積分をどうやって計算すればいいのかが分かりません。


上端と下端が∞になってる場合はそれらを文字でおいて、最後にlimit → ∞などとすれば良いのでしょうか?


また、積分される関数の変形についてもどうすればいいのか分かりません。

分母の二次式が因数分解できないので、和の形に分解できず、どうにも方針が思い浮かびません。


どのようにして計算すれば良いでしょうか?

よろしくお願いします。

回答(2件)

ベストアンサーに選ばれました
個別指導塾講師

なんか最近、積分のくそ難しい問題が多いですね笑


分母にこういう二次式がある場合、少々手間ですが tan の逆関数を用いて計算できます。


これを用いると、積分の結果は π/(√3) となります。(計算はご自身でやってみてください!)

不明な点があったら、また質問してくださいね。


※追記

tan の逆関数の微分については、例えばこちらのページが参考になります:

https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/electro/dif_inverse_trigono1.htm

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林 俊介
個別指導塾講師
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林 俊介
さんは個別指導塾講師をしています

これは大学数学の積分では? (広義積分:こうぎせきぶん といいます)


基本事項 ∞ = tan π/2 , - ∞ = tan ( - π /2 )


方針 4x^2 + 6x + 3 = 4 ( (x + 3/4 ) ^2 + 3/ 16 ) とおきます。


∫ 1 / (4x^2 + 6x + 3 ) d x = (1/4 ) ∫ 1/ ((x + 3/4 )^2 + 3/16 ) d x  と変形できます。


x + 3/4 = t  とおくと、 x : - ∞ → ∞  のとき t:-∞ → ∞  です。


ゆえに  (1/4 ) ∫ 1 / ( t^2 + (3/16 )) d t   と変形できます。


さらに t =  ( √3 / 4 ) tan y  とおくと、 d t = (√3/4 ) 1/ (cos y )^2 d y , - ∞ = (√3/4 ) tan y   → -∞ = tan y  →  y = - π /2


∞ = (√3/4 ) tan y   →  ∞ = tan y    →  y = π / 2   ゆえに  y:  - π / 2  → π / 2


(3/16 ) = (√3/4 )^2 に注意して


(1/4 )∫ 1/ ( (3/16 ) (1 + ( tan y )^2 ) (√3/ 4 ) (1 / ( cos y )^2) d y = (1/ √ 3 ) ∫ d y = (1/ √ 3 ) (π/ 2 - ( - π / 2 )) = π/ √3


以上です。 違ってたら すみません。

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