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大学院試 線形代数 連立方程式の係数行列のランクと解の存在性

画像の院試過去問の問題で困っています。(東京大学院情報理工学研究所の2018年の問題です)

(2)以前の問題は自力で解けているのですが、(3)以降の解法が分かりません。

(3)はa_1~a_nとbが線形独立な場合を想定していると思うのですが、その場合のノルムの最小値を与えるベクトルxの求め方が分かりません。

(4)はラグランジュの未定定数法をスカラーでなくベクトルに適用する方法が理解できず困っています。変数としてベクトルxを用いるのかxのノルムを用いるのかもよ分かっていません。

(5)も考え方の取っ掛かりが思い付かない現状です。

回答宜しくお願いします。m(__)m



大学院試 線形代数 連立方程式の係数行列のランクと解の存在性

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
tamu先生
先生
先生 の回答 1年前
(3)

x=(xi)

とします。

||b-Ax||^2=||b-Σaixi||^2

||b-Ax||^2が最小値をとるとき

∂||b-Ax||^2/∂xj=-2aj(b-Σaixi)=0

ajΣaixi=ajb(j=1,…,n)

よって

(A^T)Ax=(A^T)b

rankA=nより(A^T)Aは正則なので

x=((A^T)A)^(-1)(A^T)b



(4)

https://ja.wikipedia.org/wiki/ラグランジュの未定乗数法

一般の多次元の場合

を参考にしてください。



(5)は考えてみます。
  • Moore-Penrose逆行列の存在と一意性を示せということ.

    1年前
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tamu
さんは先生をしています

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