大学数学

【質問の答えについて】

この質問の答えはわかりません。

回答

①これらの一般解を求めよ。
(1)xy’=(1+3y)
(2)y”+4y’+13y=0

解き方がわかりません。
解説を含め答えが知りたいです。

勉強レベル2 on 2019年2月9日 の質問 数学(大学)に関する質問.
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hira
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ベストアンサー

(1)  (ⅰ) x = 0 の場合

0 = 1 +3y  1 ⇔ y = -1/3

(ⅱ) x = 0 でない場合

1 /( 1+3y) dy/dx  = 1/x

両辺をxで積分すると、

∲  1 /( 1+3y) dy = ∲ 1/x dx ⇔ 1/3 ln(1+3y) + C1 = lnx + C2 (C1、C2は積分定数) ⇔ y = 1/3 A e^(3lnx) – 1/3 ( A= e^(C2-3C1) )

 

(2)  λ = d/dx とおく。すると、λ^2 y+ 4λy +13y = 0 ⇔ (λ^2 + 4λ +13)y = 0 と表される。

ここで特性方程式 λ^2 + 4λ +13 = 0を解くと、λ = -2 ± 3i となる。

よって、この方程式の解は y = C1 e^{(-2+3i)x} + C2 e^{(-2-3i)x } =( e^-2x) (C1 e^3ix + C2 e^-3ix ) (C1、C2は積分定数)

オイラーの公式 e^ix = cosx + i sinx を用いると、以下のようにも表される。

=  ( e^-2x) ( A cos3x + B sin3x ) (A、Bは積分定数)

on 2019年2月9日 の回答
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keisangakkou
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数学教えます。 放送大学卒。 

自信はありませんが、とりあえず(1)のみ。   変数分離型   C0 , C1 , C2 , C 3 , C 4  , C  は積分定数。

x ( dy/dx ) = 1 + 3 y          →    dy/ ( 1 + 3 y ) = dx / x

∫ dy/ ( 1 + 3 y ) = ∫ dx/x

( 1/3 ) log |1 + 3 y | = log |x | +  C0   = log   |C1 x |

log |1 + 3 y |= log |C1 x|^3  = log |C2  x^3 |

1 + 3 y =         ± C3 x^3 =  C4  x^3

y = (C4/3 ) x^3  – 1/3

y = C x^3 – 1/3

以上です。 違ってたら すみません。

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hira
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すみません。先程の解答にさらに訂正です。

先程の答えにさらにe^3ln|x| = |x|^3 =± x^3を適用して、y = A x^3 – 1/3 となります。積分定数Aに変更はありません。



度重なる訂正で誠に申し訳ありませんでした。

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