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双曲線関数の逆関数に関する問題

 双曲線関数sinh(x)の逆関数の存在を示す問題です。

 逆関数の存在を示すには、元の関数が単射であることを示せば良いのですが、そのための証明方法として、導関数が常に非負関数であるということから、関数が単調増加であることを利用しました。

 この問題、実は数学の演習として出題された内の「チャレンジ問題」として扱われたものなのですが、この証明方法では「チャレンジ問題」にしては簡単過ぎであるため、私のアプローチの仕方が間違っていると判断し、どなたかの御教示を頼った次第です。大学数学らしい解法をお願い致します。



  • 【訂正】

    (2)の問題は逆関数の導関数を求める問題です。

    こちらの解法は理解できるため、解説は必要ありません。

    1年前

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
オンライン家庭教師

こんばんは!


単射であることを示すとき、juklio さんの方法でももちろん正解です。

狭義単調増加であることを言えば十分だからです。


一方、単射の定義に立ち返って証明するならば、例えば次のようになります。

最後の赤字が、単射であることを示しています。

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林 俊介
オンライン家庭教師

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  • 単射の定義に立ち返って考えてみると確かに画像の通りになりますね。

    とても分かりやすい解説です。

    ありがとうございます。

    1年前
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林 俊介
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