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凹凸関数の証明

質問の答えについて

この質問の答えはわかりません。

⑴凸関数の和と正のスカラー倍が凸関数(凸関数の空間は凸空間)


⑵f(x)が凸関数なら、f(x)は準凸関数


⑶f(x)が準凹関数である必要十分条件は、レベル数号{x|f(x)≧a}が任意の実数に対して凸集合



よろしくお願いいたします。

riri_cake さんの質問 勉強レベル5
2か月前

回答(1件)

ベストアンサー

fが凸であるための条件は0≦c≦1に対して, f(cx+(1-c)y)≦cf(x)+(1-c)f(y)となることで

fが準凸であるための条件は f(cx+(1-c)y)≦max(f(x),f(y))となることでした。

凸関数の和が凸関数であることはこの定義から簡単にわかります。

f(x)≦f(y)のときf(cx+(1-c)y)≦cf(x)+(1-c)f(y)≦cf(y)+(1-c)f(y)=f(y)となることから

凸なら準凸であることがわかります。

集合が凸であるとはその集合の内部の二点を結ぶ線分がその集合に含まれることを意味します。

以下、S_a={x|f(x)≧a}とします。

f(x)が準凹と仮定します。x,y∈Sに対してf(cx+(1-c)y)≧min(f(x),f(y)) ≧aであるからSは凸です。

逆にSが凸であるとします。a=min(f(x),f(y))とすればf(x)≧a, f(y)≧aであることから

x, y∈SでSの凸性からcx+(1-c)y∈Sであることがわかります。よってf(cx+(1-c)y)≧a=min(f(x),f(y)です。


個人家庭教師
クリップ 個人家庭教師 愛知県/塩釜口駅 2か月前
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さんは個人家庭教師をしています

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