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円の面積

積分を利用して半径aの円の面積を求めよ。
yadirin さんの質問 勉強レベル2
1年前

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
a>0
x²+y²=a²
x軸に関しても、
y軸に関しても対称。

y²=a²-x²
y≧0のとき、
y=√(a²-x²)
求める面積を、S
0≦θ≦Π/2において、
x=a・sinθ
と置くと、
dx/dθ=a・cosθ
x|0.→..a|
θ|0→Π/2|
0≦θ≦Π/2において、
cos≧0より、
√(a²-x²)
=√{a²-(a・sinθ)²}
=√{a²・(1-sin²≧)}
=√(a・cosθ)²
=a・cosθ

..a
∫√(a²-x²)dx
..0

Π/2
=∫a・cosθ・a・cosθ dθ
...0

.........Π/2
=a²・∫cos²θ dθ
..........0

..........Π/2
=a²・∫{(1+cos2θ)/2}dθ
..........0

..................................Π/2
=(a²/2)・[θ+(1/2)・sin2θ]
.....................................0

=(a²/2)・(Π/2)

=(1/4)・Π・a²

求める面積Sは、
S=4・(1/4)・Π・a²
=Π・a²

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