円との共有点

【質問の答えについて】

この質問の答えは質問の本文に記載されています。

円との共有点です。

囲んだ部分がわかりません。解答は2、2√2です。上の問題は2√2です。

絶対値があるのでV字型になるので共有点が3つ出てくるのはイメージが湧くのですが、どう進めるかわかりません。

場合分けするにもどうしたら良いか詰まってしまってます。

よろしくお願い申し上げます。

 

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kinpouge
さんは家庭教師をしています

ベストアンサー

円とV字型の関係をもう少し詳しく考察してみると良いです。

V字型の頂点は点(2,-m)にあります。

V字型の軸はx=2です。

さらに、V字型は定点(1,0)と(3,0)を通ります。

したがって、mを大きくすると頂点はx=2上をーyの向きに移動し、

かつ、V字が狭くなっていきます。

x=2とx^2+y^2=8の交点でy<0となる点は(2,-2)です。

したがって、m<2のとき、頂点(2,ーm)は円内にあるので、共有点は2つです。

m=2のとき、頂点は円上にあり、かつ、頂点(2,-2)と定点(3,0)を結ぶ直線は、

頂点以外に円と1回交わるので、共有点は3つです。

mを2より大きくしていくと、V字型の両翼でそれぞれ2回円と交差するので、共有点は4つです。

さらに大きくして、頂点と定点(3,0)を結ぶ直線が、円と接するとき、

すなわちy=mx-3mx(y=kx-3kxと同じ式です)が円に接するとき、共有点が3つとなります。

これよりmが大きいときは、頂点と定点(3,0)を結ぶ直線は円と交わらないので、共有点は2つです。

以上より共有点が3つとなるのは、頂点(2,-m)が円上にあるときとV字型の右の直線が円に接するときです。

図を丁寧に描いて考えてみるとわかりやすいです。

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