共通解の表現に関して質問です。

【質問の答えについて】

この質問の答えはわかりません。

例えば2つの2次方程式の共通解を求めよ、という問題の場合、共通解x=αとおいて進めるやり方が定石みたいになっていますが、これがしっくりきません。

また、これとは違う問題で2つの2次方程式の交点を求めよという場合はそのまま何もおいたりしないで2つの2次方程式同士の差をとって求める場合がどの参考書にも書いてあります。

でも、この交点も言い換えれば共通解ですよね?

要するにαとおいたほうがいいときとおかないほうがいいときの区別がよく分からないです。

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ベストアンサー

こんにちは。いろいろ解き方があってどれを信じればよいのかわからないといった意図の質問だと受け取りました。

私も同じことを考えた経験があるのですが、おすすめはいつも常にすべて置き換えることです。これが一番正しいので、まずは全部置き換えましょう。

 

例えば今回は二次関数の交点に限った質問ですが、1次関数でも置き換えたほうがより正確です。

y=ax+bという一次関数があったときのx切片を考えましょう。

学校で習う方法は、このままx=の形に変形し、y=0を代入する方法だと思いますが、数学を本質的に理解するには誤解を招きやすい方法だと考えています。

なぜならy=ax+bは、xとyという伴って変わる量の関係を表しているからです。xやyに代入してしまうと、他方の文字も決まってしまい一次関数ではなくなってしまします。

どうやって解くかというと、直線y=ax+b上の点(p,q)を考えるのです。このとき、点(p,q)はy=ax+b上にありますから、pとqについてq=ap+bが成り立ちます。

ここで重要なのは、xyは変数ですが、pqは定数であるという点です。どこかの点を表していますから、定数ですよね。

ここで初めて、x軸上にあるからq=0を代入するのです。ap+b=0。aとbは既知ですから、pは一意に求まります。

 

 

何次関数でも同じです。関数f(x,y)と実在する点(p,q)は、いつも分けて考えたほうが、より正確です。

もちろん実作業は同じなので、置き換えるのは時間の無駄といえば、それも一理ありますが、

すくなくともあなたがまだこの解法に違和感を感じている、納得できなさを感じているのであれば、

ちゃんと本質的に正しい方法で、毎回p,qと置いて解くように心がけたほうが、結果的に数学が伸びるでしょう。

 

この質問は非常に良い着眼点だと思います。

普通は方法を覚えるだけでスルーしてしまうところを疑問に思えるのは、本当に理解しつつある証拠ですので、この調子で頑張ってほしいと思います。

もしも疑問点があれば、遠慮なくコメントをお願いします。

 

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中谷 柊哉
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共通解の個数に着目してみましょう。

共通解が少なくとも1つの場合はαとおく、共通解が2つの場合は普通に連立方程式を解く。



そもそも、二次方程式 f(x)=0 と g(x)=0 があったときに、これらを連立させたf(x)=g(x) (差をとることと同じ意味) は、『f(x)=0 かつ g(x)=0』なので、連立方程式を解けば共通解が必ず、しかも二次方程式であれば二個求まります。ひとつだけ共通解を求めることはできません。



また、二次関数y=f(x) とy=g(x) の交点はこの2つの関数の式を連立させ、同様にf(x)=g(x)を解くことで求まるので、共通解と言えます。

ただし、『共通解』はあくまでも方程”式”での用語、『交点』は”関数”での用語なので、混ぜて使うことはありません。『二次方程式の交点』、『二次関数の判別式』という言い方も同様に正しくないです。



x=αの方ですが、方程式がただひとつの共通解を持つ場合などでは、上のように連立させることができません。そこで、共通解をαとおいて解いていく方針になります。



共通解を2つ持つときにαとおいて解いても問題ないですが、連立させることと同じ操作をすると思うのであまり意味はありません。

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