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体積

【質問の答えについて】

この質問の答えは質問の本文に記載されています。

体積です。

13の解き方を教えていただきたいです。

答えは3分の11Πaの三乗です。

途中式もお願いします



Saaa さんの質問 勉強レベル8
9か月前

回答2件

Oを原点として座標をとると、高さyの平面で切った断面積は

π((2a)^2-y^2)

です。

こぼれた水の量は、これを-a≦y≦0で積分すれば良いです。
tamu 愛媛県/道後温泉駅 9か月前
  • 回答ありがとうございます。

    申し訳ないのですが、もう少し途中式の積分の式や計算を教えていただけないでしょうか。
    9か月前

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tamu
さんは個人家庭教師をしています

方針 実際にこぼれた水の量を直接求めるのではなく 容器に今たまってる水の量を求めます。そしていっぱいの状態の水の量から 今残ってる水の量を引けばこぼれた水の量がもとまるというわけです。

基本事項 1 ・・・ 円の面積 = 半径×半径×π

基本事項 2  体積の積分 = ∫(断面積) dx

下にたまってる水の量の体積を求めます。 下にたまってる水の断面積は明らかに円ですね。ではここからは御自分で図を書いてみてください。点Oから真下に水面から少しだけ水の中に入ったところまで線を描きます。先端をPとします。 次にPから直角に左に容器のところまで真横に線を引きます。容器との交点をQとします。すると、△OPQは 直角三角形になります。PQはその深さでの円の半径になります。

OP=y とおきます。すると、OQ = 2 a  になりますので、 三平方の定理から PQ = √(OQ^2 - OP ^2) = √ ((2a)^2 - y^2)  になります。  すると、 基本事項 1 より この深さでの円の面積Sは

S=√((2a)^2 - y ^2 ) ×√((2a)^2 - y ^2 )×π = π ((2a)^2 - y^2 )

次に積分範囲を考えます。一番深いところでは y = 2a   です。 水面ではどうでしょう。 容器は30°傾いてるので △OPQは辺の長さが2 、 1、 √3 の有名な三角形になります。ゆえに 水面上では

OP = y = a   になります。 ゆえに積分範囲は a から 2a  になります。

ゆえに基本事項 2 より 今たまってる水の体積 V = ( a ≦ y ≦ 2 a ) ∫π((2a)^2 - y ^2 ) dy  = ∫(4a^2 - y^2 ) dy = 【4a^y - y^3/3 】 ( a ≦ y ≦ 2 a )  =  π【8a^3 - 8a^3/3 】 - π 【4a^3 - a^3/3 】 = 5πa^3/3

いっぱいのときの水の体積は  球の体積 = 4/3 ×π× ( 半径 )^3   より、 今回は球の半分の体積なので

1/2 × 4/3 × π × (2a ) ^3 = 16πa^3 / 3

ゆえに求める体積は 16 π a^3 / 3 - 5πa^3 / 3 = 11 π a^3 / 3

以上です。違ってたらすみません。
keisangakkou 9か月前
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