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位置ベクトルに関しての質問

質問の答えについて

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位置ベクトルに関しての質問です。


緑色のマーカーの部分がなぜ成り立つのかが分かりません。教えて下さい。



loulou さんの質問 勉強レベル5
2か月前

回答(2件)

①、② どちらも ベクトルOP を ベクトル a , ベクトル b で、あらわしてるので、


おなじだけ ベクトル a を実数倍してて、 同じだけ ベクトル b を実数倍してるはずです。


ゆえに (3s/5) a = ( 1 - t ) a  →  (3s/5 ) = 1 - t


   ( 1 - s ) b = (3t/4 ) b   →   1 - s = 3t/4


以上です。 違ってたら すみません。



ベストアンサーに選ばれました

こんばんは。多分教科書には次の事実が書いてあります

(書いてなかったらすいません)。


[命題]

↑xと↑yは平面ベクトルで、ともに0ベクトルではない。

さらに、↑xと↑yは平行でないとする。

もし実数s,t,u,vに対して、


s↑x+t↑y=u↑x+v↑y


が成り立つなら、s=u かつ t=v である。


緑色のマーカーの部分が成り立つ理由はこの命題があるからですね。

①の右辺も、②の右辺もともに↑OPですから

(3s/5)↑a+(1-s)↑b=(1-t)↑a+(3t/4)↑b

が成り立っています。そしていま↑aと↑bは一次独立ですから

上の命題の結果を使って、

3s/5=1-t かつ 1-s=3t/4

なのですよ。



ちなみに証明は次のような感じ。

[証明]

いま、s↑x+t↑y=u↑x+v↑y が成り立っているから

(s-u)↑x=(v-t)↑y ・・・(1)

となる。


もし s≠u だとすると s-u≠0 だから、

(1)の両辺をs-uで割ることが出来て

↑x={(v-t)/(s-u)}↑y

となる。しかし、これは↑xと↑yが平行でないことに矛盾する。

従って、s=u となる。ここで(1)に戻ると、

↑0=(v-t)↑y

を得る。↑y は0ベクトルではないから、v=t に限る。

以上より、s=u かつ v=t である。<証明終>

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