二次曲線の平行移動

【質問の答えについて】

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二次曲線の平行移動です。

2点(1,-3),(1,-1)からの距離の和が4である点の軌跡を求めよ。

という問題で下の画像のように解いていたのですが、2AB・BPの計算ができず解けませんでした。

この方法で解くことはできないのでしょうか?

また、解答では初めから楕円ができるとして計算しているのですが、なぜ楕円ができるのかいまいち分かりません。

 

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keisangakkou
さんは家庭教師をしています

数学教えます。 放送大学卒。 

ベストアンサー

まず、後半の質問ですが、『二次曲線』が載ってる教科書に(さりげなくですが)

『2点からの和が一定になるような軌跡を楕円という』と書かれてるはずです。

次に前半の解説ですが、 もしよければ x軸、y軸を書いて具体的に点を書き込んでみてください。

平行移動後の点(0、-1)と(0,1)の2点から和が一定の楕円の方程式を求めます。

2点間の距離の公式より、

軌跡の座標を (x、y)とおくと、

√ (x^2 + ( 1 – y )^2 )  + √(x^2 + (- 1 – y ) ^ 2  ) = 4                   →   両辺2乗して   x^2 + ( 1 – y )^2 + 2 √ ( x^2 + ( 1 – y )^2 )  √ ( x^2 + ( – 1 – y )^2 ) + x^2 + ( – 1 – y )^2 = 16

→ 整頓すると  2x^2 + ( 1 – y )^2 + ( – 1 – y )^2  – 16 = – 2 √ ( x^4 + 2 ( 1 + y^2 )x^2 + ( 1 – y^2 )^2 )

→  2 x^4 + 2 y ^4  – 14 = – 2 √ ( x^4 + 2 ( 1 + y^2 )x^2 + ( 1 – y^2 ) ^2  )

→  両辺 2 で 割って 2乗すると、

( x^2 + y ^2 – 7 )^2 = x^4 + 2 ( 1 + y ^2 )x^2 + 1 – 2 y^2 + y^4          →   x^4 + y^4 + 49 + 2 x^2 y^2 – 14 x^2 – 14 y^2 = x^4 + 2x^2 + 2 x^2 y^2 + 1 – 2 y^2 + y^4

→  4 8  =  1 6 x ^ 2  + 1 2 y ^2

→                 x^3 / 3 + y^2/4 = 1

以上です。

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