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二体問題における運動量保存則とエネルギー保存則

二体問題における運動量保存則とエネルギー保存則です。

図のような問題を解いていたのですが、(2)について、解答では力学的エネルギー保存則を使っており、求めるばねの縮みをs、衝突後の台車A、Bの速さをVとして

1/2×m×(v0)^2=1/2×(M+m)×V^2+1/2×k×s^2

という式をたてて解いていました。

一物体に着目したときの力学的エネルギー保存則は今まで習ってきたので理解できますが、図のような場合は、なぜ2物体の力学的エネルギーの和が保存されるのかがよく分からないので教えていただけたら幸いです。

宜しくお願いします。



二体問題における運動量保存則とエネルギー保存則

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
オンライン家庭教師
こんにちは。力学的エネルギー保存の法則のお話をします。



なぜ保存するのかがわからないということでしたが、逆に考えましょう。

基本的に力学的エネルギーは保存します。むしろ全部保存すると考えたほうが自然じゃないですか?

じゃあ保存しない場合はどんな場合でしょうか。それは、仕事をする場合です。

今回は登場するすべての物体が、(互いにする仕事を除いて)仕事をしていないので、

1つ1つの物体に注目すると、力学的エネルギーの交換が起こっているので保存しませんが、二つの間のやり取りなので、和を考えるとどこにもエネルギーは逃げないため、保存するわけです。



どうでしょう?疑問が解決したらうれしいです。

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オンライン家庭教師

自己紹介

中学受験と大学受験を経験しています。 大手中学受験塾の講師、採点基準作成、家庭教師など。 難関国立...

合格実績

大学生の時に大手中学受験塾で講師をつとめました。 院生では家庭教師を中心に活動しており、難関国...
  • お礼のコメントありがとうございます。



    拝見したところ、どうやら力学的エネルギーの式の立て方が正しくないようです。もう一度確認してみてください。図とそれぞれの項がなんのエネルギーを計算しているのかを教えて貰えると、解説しやすいです。







    ノートだけではわかりかねるのですが、どこの瞬間とどこの瞬間の力学的エネルギーをイコールで結ぼうとしているのでしょうか。また、衝突が起きた場合互いに仕事をするので、一つの物体についての力学的エネルギーは保存しません。実験系全体の力学的エネルギーの和は保存します。

    1年前

    オンライン家庭教師
  • 返信が遅くなってしまい申し訳ございません。

    先日はご丁寧に回答いただき誠にありがとうございました。

    エネルギー保存についての理解が深まってきました。

    追加の質問で恐縮ですが、回答の中で力学的エネルギーの交換がおきてしまうと

    おっしゃっていました。そこで1物体ずつエネルギーの式を立てて確認してみたところ

    どうも式が合いません…

    どこが間違っているでしょうか…

    1年前
  • 回答していただきありがとうございます。

    式の説明を詳しく書き直しましたので再送いたします。説明不足で申し訳ありません。

    衝突が起きた場合に仕事するというのは弾性力による仕事のことでしょうか?

    私は台車A,Bは弾性力にしか仕事されないと考え,

    (最初の運動エネルギー)ー(ばねが最も縮むまでに物体がされた仕事)=(ばねが最も縮んだ時の運動エネルギー)

    の関係を用いて写真のような式を書いた次第です。

    しかしどこかに間違えがあるのは事実なので,どこの部分が間違っているかを指摘していただけたら

    ありがたいです。



    1年前
  • 詳細な説明ありがとうございます。



    おっしゃる通り、この記述には2つ問題点があります。



    1つはA.B双方に、互いからされた(バネを介さない)仕事が入っていない点です。AはバネだけでなくBにも仕事をするので、各物体に注目して式を立てるのであれば、AからBへの仕事を新たな文字Xで置いてあげる必要があります。ということでここではAの式の右辺とBの式の左辺にXを加える必要があります。



    もう1つの問題点が、Bの式のバネに関する項だけ、時間がタイミングがズレている点です。他の項はAも含めて「バネが最も縮んでいる状態」における力学的エネルギーを考えているようですが、その時点ではまだバネはBに仕事をしていません。1番縮んでいますから、これからバネ自身のエネルギーを使ってBを加速させるというタイミングなわけです。



    以上2点を意識すれば、初期状態、バネが最も縮んでいる状態、最終状態の3点について、それぞれ(個々のエネルギーだけに注目しても)保存していることを示す式が導けるでしょう。





    問題点ではないので解けた後に、アドバイスをさらに2つ。

    ひとつ、エネルギー保存の式を立てる際は、基本的にマイナスの演算子は使わないようにした方が良いです。保存するのですから、マイナスは必要ないはずです。仕事をする場合は、その仕事自体の符号をマイナスに設定し、プラスの演算子で繋ぐように心がけた方が、保存していることを意識しやすくなります(本質的な考え方もこちらの方が正しいと考えています)。今回はAの式におけるバネのエネルギーの符号がマイナスだった点に違和感を持って欲しいです。



    2つ目は、上でXと置きましょうと書いた意味についてです。複数物体が衝突する場合はこのように、どのようなエネルギーのやり取りをしたのかを、それぞれ文字で置いてあげる必要が出てきます。しかし式を整理すると、これらは相殺出来ることが分かります。これらを予め相殺した後の形で考えているのが、複数物体の力学的エネルギー保存を考えるという事なのです。今回の場合ですと、修正したAとBの力学的エネルギーの式を足してもらうと、2物体の力学的エネルギー保存の式が導けます。





    ちょっと難しい事も含めて、様々なことを書きましたので、ゆっくり考えてみてください。しかし力学的エネルギーの本質的な所なので、早い時期にこれらの考え方を身につけておくことは、必ず後で力になるので頑張ってください。



    質問がありましたら遠慮なくどうぞ。

    1年前

    オンライン家庭教師
  • 先日は丁寧に解説していただき誠にありがとうございます…

    時間のある時にゆっくり考えてみたのですが,いくつか不明点がありますので

    重ね重ね申し訳ございませんが,いくつか質問してもよろしいでしょうか?

    ①AはばねだけでなくBにも仕事するとおっしゃっていました。AとBは直接触れていないにも関わらず,なぜBはAから,AはBから仕事を受けるか

    教えていただけますでしょうか…

    ②ばねが最も縮んでいる時点ではまだばねはBに仕事をしていないとおっしゃていました。私はばねはAとBそれぞれに弾性力が働いているため

    ばねからも仕事を受けるのでは…と考えてしまったのですが,なぜばねはBに仕事をしていないのでしょうか…



    宜しくお願いいたします。

    1年前
  • ばねとBを分離して考えるか、2つで1つと考えるかによって変わってくることをご承知ください。通常はふたつで1つと考えますが、今回は説明のため、別々で考えて話を進めます。



    ばねとBを別々に考えた場合、この問題はAとBとばねの3体問題になります。こう考える場合、AとBは直接接してないですから、AからBにすることはありません。



    Aがする仕事は全てばねに対して行います。もしもばねが(例えば硬すぎて)全く縮まなかった場合、Aがばねにした仕事量と全くおなじ量の仕事を、ばねがBにすることになります。逆にばねが凄く柔らかく、Bを動かせず全く仕事をしなかった場合、Aからばねへの仕事分は全てばねが縮むために使われ、弾性エネルギーとしてばねに蓄えられることになります。今回は縮みつつもBも動かすので、これらの複合となります。ばねの縮みによってエネルギーが変わるので計算は難しいですが、例えばばねが伸び切った最後の状態では、弾性エネルギーは全てBの運動エネルギーに変わっています。



    これで①の答えになっているでしょうか。





    ②についてですが、「弾性力が働いているためばねからも仕事を受ける」という表現が正確ではないと思います。仕事は力×長さの単位であり、力がかかっているから仕事を受けるというのは正確ではありません。その力により実際に動いた際に、初めて仕事になります。では動いたとはどんな時なのか。それはつまりばねの縮みが短くなった時なわけです。



    重力はどこにでも存在しますが、地表に立っているだけで地球に仕事をされているわけではありませんよね?もしそうなら、エネルギーの永久機関が作れそうです。

    高いところから落下した際に初めて仕事をする/されるわけです。その結果として落下します(速さが与えれます)。



    説明がわかりにくくてすみません。よろしくお願いします。

    1年前

    オンライン家庭教師
  • 大変遅くなってしまい申し訳ございません。

    ようやく理解できました。

    丁寧に解説いただきまことにありがとうございます。

    1年前
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