ログイン 新規登録

お使いのブラウザ(Internet Explorer)では閲覧、ログイン、質問の作成や回答などに不具合が生じることがございます。
誠に恐れ入りますが、下記の推奨ブラウザをご利用くださいませ。

推奨ブラウザ:Google Chrome(グーグル・クローム)

九大数学 2012です。

(2)で-1/5≦a≦1/2となる理由がわかりません。詳しく教えてください!

九大数学 2012です。

九大数学 2012です。

2年前

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
√n = bとおくと,b>0.

f(x) = a*(x²+|x+1|+b²-1)
g(x) = b*(x+1)

「xの方程式:f(x) = g(x) が実数解を持つ」
⇔「xy平面上の曲線:y=f(x)と直線y=g(x)が共有点を持つ」

(i) x<-1 のとき,
f(x) = a*(x²-(x+1)+b²-1) - b*(x+1)
= a*(x² -x -1 +b² - 1) - b*(x+1)
= a*x² -(a+b)*x + (a*b² - 2*a -b)

(ii) -1≦x のとき,
f(x) = a*(x² +(x+1)+b²-1) - b*(x+1)
= a*(x² +x +1 +b² - 1) - b*(x+1)
= a*x² +(a-b)*x + (a*b² -b)

それぞれの判別式を計算し,ゼロ以上となる条件を求めると,
(i) x<-1 のとき,
D1=(a+b)²-4*a(a*b²-2*a-b)=a²+2*a*b+b²-4*a²*b²+8*a²+4*a*b
=9*a²+6*a*b+b² - 4*a²*b²=(3*a+b)² - (2*a*b)²
=((3*a+b) - 2*a*b)*((3*a+b) + 2*a*b)≧0

グラフの概形より,x<-1で,右肩上がりの直線y=g(x)と接するのは,a<0の場合とわかる.
x<-1 のとき,y=f(x)とy=g(x)が接するのは,a<0の場合で,
((3*a+b) + 2*a*b)≧0を解いて,a≧-(√n)/(3+2*√n)のとき,共有点を持つ.

(ii) -1≦x のとき,
D2=((a-b)²-4*a(a*b²-b)=a²-2*a*b+b² -4*a²*b²+4*a*b
=a²+2*a*b+b² - 4*a²*b²=(a+b)² - (2*a*b)²
=((a+b) - 2*a*b)*((a+b) + 2*a*b)≧0

グラフの概形より,-1≦x で,右肩上がりの直線y=g(x)と接するのは,0<a の場合とわかる.
-1≦x のとき,y=f(x)とy=g(x)が接するのは,0<aの場合で,
((a+b) - 2*a*b)≧0を解いて,a ≦ (√n)/(2*(√n) -1)のとき,共有点を持つ.

以上より,求めるaの範囲は,
-(√n)/(3+2*√n)≦a≦(√n)/(2*(√n) -1)

(2) aの範囲の下限=-(√n)/(3+2*√n)=-1/((3/√n)+2)
これは,n=1のとき最大値 -1/5をとり,n→+∞の極限値は,-1/2である.
よって,-1/2 < (aの範囲の下限) ≦ -1/5

aの範囲の上限=(√n)/(2*(√n) -1)=1/(2 - (1/√n))
これは,n=1のとき最大値 +1をとり,n→+∞の極限値は,+1/2である.
よって,+1/2 < (aの範囲の上限) ≦ +1

全ての自然数nに対して,実数解を持つようなaの範囲は,
aの範囲の下限の最大値 ≦ a ≦ aの範囲の上限値の最小値.
すなわち,
(答え)-1/5 ≦ a ≦ 1/2

(文字だけで書くと複雑に見えるが,グラフに書いてみると,この範囲にaがあれば,全てのnに対して成立することがわかると思う.(1)はa<0の場合が,ちょっとややこしいかもしれない.)

累計17,000問以上の質問から、あなたがわからない問題・回答を写真で検索しよう!

あなたと同じ問題を探そう
写真で検索する

この質問に関連した回答一覧

この質問に関連する文章

J 7 とを強く意識して③と変形したものが〔別解〕 である。どちらでもよいだ ろう。しかし,せっかくグラフで考えるので, 一方をx軸に平行な直線に することがポイントである。 (2)(1)で一2n+3 とわかるので,これがすべての自然 (G-I)03 2 n-1 (1-D 03)- 19L となるのはn=1の T I sa n-1 aのとり得る値の範囲 となる自然数nは存在しない。limっ/n-1 I :2/n-1の範囲 より大きい値を 2 l- uN T 2 (6 00-u 5 とるので、すべての自然数nについて, (1)の不等式が成り立つaの範囲 Sad=mil 数nに対して成り立つようなaの範囲を求めればよい。 I I (2)で求める範囲 2 n+3 だからである。しかし,つ-1 I 2/n+3の範囲 02MKI O0R D) (C において, -0) (3-0 I + U/ -Kas:となる。 I 0 c) (0 D ! TY 1) (-1D C3- F) (0-1) (0-1) は含まれる。よって, I I I *00-6: 530 ときであるが、2/n-1 2 = lim...

※質問に添付された画像から自動で抽出しているため、一部画像と異なるテキストが入っている場合があります

あなたと同じ問題を探そう
写真で検索する