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不等式の証明 数II

【質問の答えについて】

この質問の答えは質問の本文に記載されています。

不等式の証明 数IIです。

(1)は分かりましたが、それをどう利用するかがわからないので詳しく教えてください!



れーーーーー👻🙌 さんの質問 勉強レベル2
8か月前

回答3件

( 2 )  は ( 1 ) をつかわなくても大丈夫です。

方針は ( 1 ) のように 左辺 - 右辺 ≧ 0  でいきますが、まず

左辺 - 右辺 = (数式)^2 + (数式)^2   の形になるので そこから  (数式 )^2  ≧ 0  になることを 利用して 左辺 - 右辺 ≧ 0   を証明します。

解答

左辺 - 右辺 = x^2/2 + y^2/3 + z^2 /4 - (x + y + z)^2 /9 = ((18x^2 + 12y^2 +9z^2 ) - 4 (x + y + z)^2 ) /36 = A/36   とおきます。 以下  A  ≧ 0  を示します。

A = 18x^2 +12y^2 +9z^2 - 4 (x + y + z )^2 = 18x^2 + 12 y^2 +9z ^2 - (4x^2 +4y^2 +4z^2 - 8xy - 8yz - 8zx ) = 14 x^2 - 2 (4y + 4z )x + 8y^2 + 5z^2 - 8yz  = 14 (x^2 - 4(y + z)x/7) +  8y^2  - 8yz + 5z^2   = 14 (x  - 2(y + z)/7 )^2  - 8(y + z )^2/7 + 8y^2 -8yz +5z^2  = 14 (x - 2(y + z )7)^2  -8y^2/7 - 16yz/7 - 8z^2/7 = 14(x - 2(y + z)/7  )^2  +48y^2 /7 - 72yz /7 + 27z^2/7  = 14(x - 2(y + z) /7 )^2  -+ 1/7 (48y^2  - 72 yz + 27z^2 ) = 14 (x - 2 (y + z)/7 )^2 + 48/7 (y^2 - 2× 3 z/4 + (3z/4)^2 ) = 14 (x - 2 (y +z) /7 )^2 + 48/7 (y - 3z/4 )^2  ≧ 0

ゆえに 左辺 - 右 辺  ≧ 0  が示された。

最後のほうは少し省略しました。 あまりに計算が多いもので・・・  ( ^ ^ ;)   難しい・・・。

以上です。 違っていたらすみません。

keisangakkou 8か月前
ベストアンサー
無理に(1)を利用しなくても、3文字の平方完成でゴリ押すのも一つかと思います。

(たぶん問題の意図としては、2文字でできる平方完成を3文字でもできるように・・・と推測しました。)



解答は、2行目〜3行目間をかなり省略してますが、x,yの順に整理していくだけですね。
杉本 東京都/用賀駅 8か月前
あなたがベストアンサーに選んだ
杉本
さんは個人家庭教師をしています

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