三角関数

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三角関数です。

⑴については、計算過程はわかったのですが、なぜ最後二乗を取ったりしたわけでないのに急にルートをつけるのかわかりません。

⑵については、やり方からわかりません。

応用例題も全くやり方がわからなくて困っています。

教えてください!

 

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ベストアンサー

まず、 第三象限の話はおいといて、

( 1 )  = ( sin θ + cos θ )^2 = 1 + 2 sin θ cos θ = 1 + 2 ×2/5 = 1 + 4/5 = 5/5 + 4 / 5 = 9/5    ですね。 解答部分の 1 + 2/5  は 1 + 2 ×2/5 = 1 + 4/5 ですね。

(1 )  をもとめるのにルートをつける必要はありません。 ( 2 ) をもとめるのに必要なので ( 1 ) で sin θ + cos θ の計算をしてるのです。

( 2 )   基本事項  1 二次方程式の性質

α 、 β を2つの解とする 二次方程式は

x^2 – (α + β )x + α β = 0       になる。

基本事項  2   動径 ・・・ xy 平面において、 一本の棒が原点を中心にx 軸から反時計回りに回転するとき、その棒を動径と呼ぶ。問題文は動径の( 棒の)先端が第三象限にある。棒の先端の座標をθであらわすとき、棒の長さが1ならば (cos θ  ,  sin θ )   になる。

基本事項 3   第一象限 ・・・   x > 0  ,  y > 0

第二象限 ・・・   x > 0  ,  y < 0

第三象限 ・・・    x < 0   ,   y < 0

第四象限 ・・・    x < 0     ,   y >  0

( 2 )   sin θ  、  cos θ の値を求める    →   sin θ  、  cos θ  は sin θ + cos θ  、  sin θ cos θ の値がわかる。  →    sin θ   ,   cos θ は二次方程式 x^2 – (sin θ + cos θ ) x – sin θ cos θ = 0   の2解になる。

sin θ  、  cos θ  は 動径の先端とみる。  →   動径は第三象限にある  →  sin θ < 0     ,     cos θ < 0      である   →    sin θ + cos θ < 0

( sin θ + cos θ ) ^2  = 9 /5      →   sin θ + cos θ = -3/√5       →   sin θ + cos θ = -3/√5    ,     sin θ cos θ = 2/5   より     sin θ    ,  cos θ   は二次方程式

x ^2  + 3/√5 x + 2/5 = 0   の2 解 である。

ゆえに  x = (- 3/√5 ± √((3/√5)^2 –  4 ×1 × 2/5)))/2        →    x = –  2/√5       or     x = – 1 /√5

ゆえに ( sin θ   ,    cos θ ) = (-2/ √5    ,   -1/√5 )       or     ( -1 / √  5   ,  – 2 / √5    )

応用問題

sin θ + ( sin θ )^2 = 1           →   sin θ + (1 – ( cos θ )^2) =1       →   sin θ + 1 – (cos θ)^2 = 1          →  sin θ – ( cos θ ) ^2 = 0            →  sin θ = (cos θ )^2       ①

ゆえに 1 +  ( cos θ )^2 + ( cos θ )^4 =1 + ( cos θ )^2  + (( cos θ )^2 )^2    =    1 + sin θ + (sin θ )^2 =    1 + 1 = 2                       ←  ( cos θ )^2  = sin θ   を代入した。

以上です。違ってたら すみません。

 

 

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