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ルベーグ積分 フビニの定理

質問の答えについて

この質問の答えはアップロードされた画像に掲載されています。

補題2.22の証明なのですが、まず単調族定理を使うためには有限加法族であることを言わないといけないはずですが、自明なのでしょうか?


また、最後のAnが減少列のときには、単調収束定理が使えないため、ルベーグの収束定理を使いたいはずです。そこまでは理解できました。 また、減少列なのでA1の測度が一番大きく、それを優関数としたいのもわかりました。ですが、μ((A1)_x)<∞は必要あるのでしょうか?優関数の積分値が有限である、とμ((An)_x)がμ(A_x)に収束することが言えれば良いのではないでしょうか?


最後に、A1の代わりににA1∩(Xm×Ym)を考えれば…からがわかりません。


4か月前
  • ▷まず単調族定理を使うためには有限加法族であることを言わないといけないはずですが、自明なのでしょうか?


    (ちょっと文字が読み取れないのですが、)

    花文字K ⊂ 花文字F

    って証明の2行目に書いてますよね。


    単調族定理を使う上で、花文字Kが有限加法族であることを

    説明する必要はもちろんありますよ。著者にとっては簡単なので

    書いてないんでしょうね。


    花文字Kの定義は何なのです?


    ▷また、最後のAnが減少列のときには、単調収束定理が使えないため、ルベーグの収束定理を使いたいはずです。μ((A1)_x)<∞は必要あるのでしょうか?


    確かにここではルベーグの収束定理を用いていますね。


    しかし、A_n↓A の時、ν((A_n)_x)→ν(A_x)

    って無条件に出るんですか?


    測度の連続性に関する次の命題は、

    あなたの本にもきっと書いてありますよ。


    [命題]

    mを測度、{E_n}、Eを可測集合とする。

    ・E_n↑E なら m(E_n)↑m(E) が成り立つ。

    ・E_n↓E かつ m(E_1)<∞ なら m(E_n)↓m(E) が成り立つ。


    (例えば、λを1次元のルベーグ測度、

    E_n=[n,∞) とした時、E_n↓∅ ですよね。だけど、

    λ(E_n)→λ(∅)=0

    って成り立っていますか?

    いま任意の自然数nに対して、λ(E_n)=∞ です。)


    ▷最後に、A1の代わりににA1∩(Xm×Ym)を考えれば

    …からがわかりません。


    これはまさしく、上の命題の2つ目が成り立つような状況を

    作り出そうとしているのです。μとνのσ有限性から、

    (μ×ν)(A1∩(X_m×Y_m))μ(X_m)ν(Y_m)<∞

    が成り立っていますよ。



    4か月前
  • コメントありがとうございます!Kは直積塊なので有限加法族なのですね?

    加速度の連続性、納得いたしました。((μ×ν)(A1∩(Xm×Ym)) ≦μ(Xm)×ν(Ym)となるのはなぜでしょうか。

    4か月前
  • はい。直積でかける集合全体は、有限加法的です。


    後半の質問ですが、これは測度の単調性を使っているだけです。A_1∩(X_m×Y_m) より X_m×Y_m の方が大きい。

    4か月前
  • そして (μ×ν)(X_m×Y_m)=μ(X_m)ν(Y_m) が成り立つことに注意。


    直積集合の直積測度がどのように定義されるかは、あなたの本にも書いてあると思いますよ。

    4か月前
  • コメントありがとうございます!

    納得しました! 要するに減少列のときはAn×(Xm×Ym)をとってきて、

    ∪{An×(Xm×Ym)}が3つの条件を満たすことをチェックしているという認識でよいですか?

    4か月前
  • ∪{An×(Xm×Ym)} ←これが何について和を取っているか

    分からないのでコメントが難しいです。。。

    upしてくれた画像を見たときの私の認識は以下のとおり。


    証明の前半で、

    花文字Fが集合に関する単調非減少な極限で閉じていること

    が議論されています。すなわち、

    A_nは花文字Fに属し、 A_n↑Aならば Aも花文字Fに属す。

    前半は単調収束定理を使うだけで警戒する箇所がほとんどない。


    それに対し証明の後半では、

    花文字Fが集合に関する単調非増加な極限で閉じていること

    が議論されます。すなわち、

    A_nは花文字Fに属し、 A_n↓Aならば Aも花文字Fに属す。


    ここではルベーグの収束定理を用いるが、

    収束定理を使うための条件をいきなりチェックするのは難しく、

    工夫を要する。


    そこでmを任意に取って固定し、

    nに関する集合列 An(Xm×Ym) についてまず考えている。

    結果、この集合列の極限である A(Xm×Ym) が条件(i)、(ii), (iii)

    を満たし、 A∩(Xm×Ym) が花文字Fに属すことが証明される。


    しかし本来証明すべきことは、Aが花文字Fに属すということ。

    ここで前半の結果を利用する。

    Aはmに関する集合列 A(Xm×Ym) の単調非減少な極限

    とみなせる。任意のmに対して、A∩(Xm×Ym) が花文字Fに属す

    ということが分かっているので、前半の結果からAも属す。


    4か月前
  • お返事誠にありがとうございます!!納得いたしました!本当にわかりやすいかったです!

    4か月前
  • どうも。

    4か月前

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