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フラクタル幾何 ボックス次元

大学数学、フラクタル幾何のボックス・カウント次元についての質問です。

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ボックス次元の定義としては、

考えている図形をd次元空間R^d内の有界な集合とする。一辺εのd次元立方体によってその集合を被覆するとき、N(ε)を球または立方体の個数の最小値とする。

ボックスカウント次元(容量次元)D_0は以下のようになります。

D_0=lim[ε→0]{log(N(ε))/log(1/ε)}

例として、R内の集合{0,1,1/2,1/3,…}のボックス次元を考えます。[0,1]を幅1/n^2の区間に分割して、{0,1,1/2,1/3,…}と交わる区間の個数を考えます。

左側n個の区間が{0,1/n,1/(n+1),…}を覆います。また、{1,1/2,1/3,…,1/(n-1)}に関しては点と点の距離が1/n^2より大きいのでn-1個の区間で覆われます。

なので、ε=1/n^2、N(1/n^2)=n+(n-1)=2n-1となるので、ボックス次元D_0は

D_0=lim[n→∞]log(2n-1)/log(n^2)=1/2となります。
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◎質問ですが、集合{0,1,1/4,1/9,…}のボックス次元の求め方は以下で大丈夫でしょうか?

[0,1]を幅1/n^4の区間で分割して、{0,1,1/4,1/9,…}と交わる区間の個数を考える。左側n個の区間が{0,1/n^2,1/(n+1)^2,…}を覆い、集合{1,1/4,1/9,…,1/(n-1)^2}の点は、点と点の距離が1/n^4より大きいので、n-1個の区間がこの集合を覆う。

よって、ε=1/n^4、N(1/n^4)=n+(n-1)=2n-1となるので、ボックス次元D_0は

D_0=lim[n→∞]log(2n-1)/log(n^4)=1/4となる。

回答(1件)

ベストアンサーに選ばれました
tamu先生
先生
先生 の回答 1年前
大丈夫です。
あなたがベストアンサーに選んだ
tamu
さんは先生をしています

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