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コーシー列 証明

質問の答えについて

この質問の答えはわかりません。

コーシー列の証明です。


ご回答お願いいたします。


さり さんの質問 勉強レベル6
2か月前
  • コーシー列の定義は、

    lim[m,n→∞]|a[m]-a[n]|=0

    かと思います。


    三角不等式を使うと、任意の自然数m,n (m>n)に対して、

    |a[m]-a[n]|

    =|a[m]-a[m-1]+a[m-1]-a[m-2]・・・+a[n+1]-a[n]|

    ≦|a[m]-a[m-1]|+|a[m-1]-a[m-2]|

    +・・・+|a[n+1]-a[n]|

    が成り立つことが分かります。


    仮定から、

    |a[m]-a[m-1]|≦1/(3^(m-1))、

    |a[m-1]-a[m-2]|≦1/(3^(m-2))、

    ・・・、

    |a[n+1]-a[n]|≦1/(3^(n))

    が成り立っています。


    というわけで

    |a[m]-a[n]|

    ≦1/(3^(m-1))+1/(3^(m-2))

    +・・・+1/(3^(n))

    になるわけです。


    右辺はm-n個で初項が1/(3^(n))、

    公比が(1/3)の等比数列の和になっています。

    これは計算できますよね。計算するといくつになります?



    2か月前

回答(0件)

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