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ひもで連結した質点の落下

【質問の答えについて】

この質問の答えはアップロードされた画像に掲載されています。

5)以下は解けませんでした.

よろしくお願いします.



やまねこ さんの質問 勉強レベル5
3週間前

回答1件

(1) OK

(2)v[A2],u[A2]の「√」を忘れています。

(3)v[A2],u[A2]の値に「√」をつければOKです。

(4)y[G]=ℓ/2となるのは、m[A]=m[B]のときです。

問題ではm[A]=m[B]の条件はありませんから、

y[G]=(m[A]xℓ+m[B]x0)/(m[A]+m[B])

=m[A]・ℓ/(m[A]+m[B])

とすると、良かったです。

他はOKです。

(5)机から飛び出した後、重心Gの運動は(4)の考察から放物運動となります。

さらに、この系には、回転の運動が加わります。

机を飛び出した後、重心Gまわりの回転運動は質点A,Bの力のモーメントの和が0なので、

角運動量が保存されます。したがって、

飛び出した直後の角速度をωとすると、机から飛び出した後も、

重心と質点A,B間の距離は変わらないので、

質点A,Bは重心Gを中心に一定の角速度ωで、

回転しながら、重心自身は放物運動をすることになります。

これを模式的に表すと下の図のようになります。


机をとび出した直後の角速度ωは、

ω=[{m[B]/(m[A]+m[B])}√{2m[A]gℓ/(m[A]+m[B])}]/{m[A]ℓ/(m[A]+m[B])}

=m[B]√[{2g/{m[A](m[A]+m[B])ℓ}] ・・・①

です。

質点A,Bのy座標が最初に等しくなるのは、ちょうどπ/2だけ回転したときなので、

求める時刻をτとすると、

ωτ=π/2

より、

τ=π/(2ω)

です。


(6)

t>0における質点Aの座標x[A]は,

x[A]=x[G]ー{m[B]・ℓ/(m[A]+m[B])}sin(ωt) ・・・②

と表せます。

質点Aが机の右端にもっと近づくのは、ちょうどπ/2だけ回転したとき、

すなわち(5)のときなので、②式に

ωτ=π/2

を代入して、

x[A]=x[G]>0

なので、質点Aは机の右側面(x=0)に衝突しません。


(7)

t>0における質点Bの座標x[B]は,

x[B]=x[G]+{m[A]・ℓ/(m[A]+m[B])}sin(ωt) ・・・③

また、机を飛び出した直後の重心のy座標y[G0]は、

y[G0]=m[A]・ℓ/(m[A]+m[B]) ・・・④

です。


(ⅰ)m[A]/m[B]<<1のとき

重心の位置は、質点Bの位置とほとんど一致します。

したがって、y[G0]≃0より、系は質点Bを中心に回転しますが、

③式の第2項{m[A]・ℓ/(m[A]+m[B])}sin(ωt) → 0

なので、質点Bは机の右側面に衝突しません。


(ⅱ)m[A]/m[B]=1のとき

重心の位置は質点A,Bの中間点になります。

y[G0]=(1/2)・ℓより、系は中間点を中心に回転します。

3π/2回転したときの質点Bの位置は

③式より

x[B]=x[G]

そのときの時刻をτ'とすると、

x[G]=u[G3]τ'=τ'・{√(gℓ)}/2 ・・・⑤

①より

ω=√(g/ℓ) だから、

ωτ'=(3π/2)より

τ'=(3π/2)・√(ℓ/g)

⑤に代入して、

x[G]=(3π/4)・ℓ>ℓ/2

よって、このときも質点Bは衝突しません。


(ⅲ)m[A]/m[B]>>1のとき、

重心の位置は質点Aの位置とほとんど一致します。

したがって、y[G0]≃ℓより、系は質点Aを中心に回転します。

このとき、③式の第2項はℓ・sin(ωt)と近似できるので、

x[B]=x[G]+ℓ・sin(ωt) ・・・⑥

また、u[G3] →0 なので、

⑥式は、

x[B]=0+ℓ・sin(ωt)=ℓ・sin(ωt)

となり、

π回転すると机の右側面に衝突します。


以上の考察より、

m[A]/m[B]<<1、m[A]/m[B]=1のときは衝突しませんが、

m[A]/m[B]>>1のとき,系はx軸方向にはほとんど運動せず、

鉛直落下運動となり、かつ、質点Bは質点Aを中心に回転するので、

机の右側面に衝突します。


iwakagami 2週間前
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